تبلیغات
دنیای اعداد - تثلیث یک زاویه

دنیای اعداد

این اعداد هستند که حکومت می کنند. افلاطون


مقدمه
اگر یك خط‌كش، یك پرگار و تا ابد وقت داشته باشید می‌توانید زاویه‌ای را به 3 قسمت مساوی تقسیم كنید؟!

اگر  ماجرای تثلیث زاویه  را شنیده باشد می‌دانید كه تقسیم كردن زاویه‌ای به سه قسمت مساوی غیر ممكن است. سال‌ها افراد زیادی وقت خود را برای حل این مساله صرف كردند اما

 نتوانستند آن را حل كنند.به گزارش مجلهٔ ISI دانش مندان و ایرانیان بسیاری در راستای حل این مسئله پیش گام بودند که از جمله آنان می‌توان به ابوعلی سینا، ابوریحان بیرونی اشاره کرد.


با آشنایی در حد مثلثات دبیرستانی می‌شود ثابت کرد این مسئله که جزء مسئله‌های طرح شده در شاخه ساختمان‌های هندسی است با کمک پرگار و ستاره (خط‌کش غیر مدرج) قابل حل نیست؛ ولی با حل یک معادله درجه ۳ ساده می‌توانیم دریابیم که بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث است، از جمله زاویه‌های ۹۰ درجه یا ۴۵ درجه؛ و بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث نیست، از جمله زاویهٔ ۶۰ درجه؛ بنابراین، زاویهٔ ۶۰ درجه را نمی‌توان، به کمک پرگار و خط‌کش، به سه بخش برابر تقسیم کرد.

در سال ۱۸۳۷، پی‌یر ونزل مقاله‌ای منتشر کرد و اثبات کرد که این مسئله در حالت کلی غیرقابل حل است.[۱] اگرچه در طول تاریخ بسیاری از ریاضی‌دانان برای حل این مسئله تلاش کرده‌اند و نام بسیاری از آن‌ها و روش‌های ارائه شده در کتابی گردآوری شده‌است.[۲]

اگرچه حل مسئله در حالت کلی امکان ندارد، تثلیث برخی از زوایا امکان‌پذیر است. قضیهٔ زیر تمام زوایایی که می‌توان تثلیث کرد را مشخص می‌کند:

قضیه: زاویهٔ \theta  می‌تواند تثلیث شود اگر و تنها اگر چندجمله‌ای q(t)=4t^{3}-3t-\cos(\theta ) بر روی توسیع میدان \mathbf {Q} (\cos(\theta )) تحویل‌پذیر باشد.

در این قضیه Q نماد مجموعهٔ اعداد گویا است. اثبات این قضیه براساس تعمیم عدم امکان تثلیث زاویهٔ ۶۰ درجه سرراست است.


ما نصف كردن یك زاویه را بلدیم. خوب، اگر زاویه‌ای را نصف كنیم بعد نیم زاویه سمت راست آن را در نظر بگیریم و آن را هم نصف كنیم و از دو نیمه اخیر، زاویه سمت چپ را انتخاب كنیم و این نصف كردن و انتخاب متناوب چپ و راست را ادامه دهیم، بالاخره در «ابد» می‌توانیم یك سوم زاویه را جدا كنیم!
علت هم ساده است، حاصل سری هندسی زیر یك سوم می‌شود:

1/2 - 1/4 +1/8 - 1/16 +....

تثلیث زاویه

اثبات شد كه با پرگار و خط كش معمولی ِ درجه بندی نشده (ابزارهای اكلیدس) ، شدنی نیست 

 
 روش ارشمیدس در هندسه اقلیدسی مجاز نیست، زیرا او از خط كش درجه بندی نشده بهره نبرد

 با ابزارهای دیگر، افزون بر یونانیان باستان كسان دیگری هم توانستند یك زاویه دلخواه را به سه 

قسمت برابر تقسیم کنند

تصویر 
منابع:ویکی پدیا و انجمن فیزیکدانان جوان و اپسیلون





طبقه بندی: هندسه، مسائل حل نشده ی ریاضی،

[ چهارشنبه 9 دی 1394 ] [ 06:16 ق.ظ ] [ مهران عامری ]

[ نظرات() ]


  • کد نمایش افراد آنلاین
  • کسب درآمد