تبلیغات
دنیای اعداد - اثبات گنگ بودن رادیکال 2

دنیای اعداد

این اعداد هستند که حکومت می کنند. افلاطون


مقدمه

 عددی گنگ است زیرا هیچ کسری به صورت  وجود ندارد که برابر با باشد. اگر  را محاسبه کنیم خواهیم داشت :


( در پایان این قسمت اثبات خواهیم کرد که  عددی گنگ است. )


دقت کنید که در ارقام ِ هیچ الگویی وجود ندارد و هیچ گروهی از ارقامش تکرار نمی شوند.

بنابراین این سوال پیش می آید که آیا همه ی اعداد گویا ، در نمایش اعشاری ، یک گروه از ارقامشان دوره ای هستند و تکرار می شوند؟

برای مشخص شدن مطلب ، اجازه دهید چند کسر را ارزیابی کنیم :



که این عدد را می توان به صورت  نوشت. که دارای یک گروه شش رقمی تکراری است یا به عبارتی دوره ی گردش ِ  ، شش رقمی است و آن ارقامی که بالای آن ها خط کشیده ایم از ابتدای خط تا انتهای آن به ترتیب تکرار می شوند.

اما مقدار کسر  را ببینید :


چنانچه ملاحظه نمودید ما این کسر را تا بیش از 100 رقم اعشار محاسبه نمودیم اما هیچ دوره ی گردشی مشاهده نمی کنیم. آیا می توانیم نتیجه بگیریم که عددی گنگ است ؟ اگر چنین باشد که تعریف قبلی ما برای اعداد گنگ باطل می شود !!!...

آیا اگر مقدار  را کمی بیشتر محاسبه کنیم، اتفاق خاصی نخواهد افتاد؟ ببینیم اگر 10 رقم اعشار جلوتر رویم چه می شود :



به نظر می رسد یک الگوی تکراری شروع شود و آغاز آن 0091 باشد. محاسبات را بیشتر می کنیم( بیش از 200 رقم ) ، آیا حدس ما درست خواهد بود ؟ ببینید :



اگر محاسبات را تا 332 رقم اعشار ادامه دهیم ، الگو واضح خواهد شد :



پس می توانیم این محاسبات را متوقف کنیم و نتیجه بگیریم ( البته بدون اثبات) که « نمایش یک کسر معمولی به صورت عدد اعشاری ، همواره یک دوره ارقام چرخشی دارد. » البته بعضی از این کسر ها در این نمایش، دوره ی چرخش کوتاهی دارند : مثلا ً  دوره ی چرخش یک رقمی یا  یک دوره ی چرخشی 6 رقمی دارد و بعضی ها مانند که دوره ی 108 رقمی دارد، دوره ی طولانی تری دارند.

این ، گواهی بر آن است که یک کسر دارای نمایش ِ اعشاری متناوب است ولی اعداد گنگ چنین نیستند.

اکنون ثابت می کنیم که  را نمی توان به صورت یک کسر نوشت که آن نتیجه خواهد داد  عددی گنگ است.

... « فرض کنیم  کسری با کوچکترین جملات است که در آن a و b هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند. فرض کنیم  . دو طرف تساوی را به توان 2 می رسانیم :  بنابراین  . یعنی  عددی زوج است . چون توان دوم هر عدد فرد، عددی فرد است پس چون زوج است ، a نمی تواند عددی فرد باشد ؛ پس a زوج است و می توان فرض کرد a = 2k . بنابراین  که نشان می دهد   . پس   زوج است و b نیز زوج خواهد شد. پس در کل از اینکه  باشد ، به این نتیجه رسیدیم که a و b بایستی اعداد زوجی باشند که در این صورت a و b دارای حداقل یک مقسوم علیه مشترک ( یعنی 2 ) هستند که این نتیجه با فرض اولیه ی ما ( a و b هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند ) در تناقض است. بنابراین فرض اینکه  را بتوان به صورت یک کسر نوشت باطل است یعنی  عددی گنگ است . » 





طبقه بندی: روابط بین اعداد و اثبات ها، توان و جذر،

[ پنجشنبه 25 مهر 1392 ] [ 03:08 ق.ظ ] [ مهران عامری ]

[ نظرات() ]


  • کد نمایش افراد آنلاین
  • کسب درآمد